Что означает несмещенность, состоятельность и эффективность статистических оценок простыми словами?
Постараемся объяснить, какой смысл кроется за этими терминами и связанными с ними математическими формулами.
Статистические методы используются в тех ситуациях, когда исследователь, не имея возможности изучить полную совокупность каких-либо объектов, стремится получить представление о ней, основываясь на выборочной совокупности. В этом случае также предполагаются, что выборка и полная (генеральная) совокупность не имеют друг с другом каких-либо значимых отличий. Также статистические методы необходимы, когда исследователь пытается на основе каких-либо прошлых данных сделать прогноз о том, что будет происходить в будущем.
Перед исследователем может быть поставлена задача описать функцию распределения в изучаемой генеральной совокупности (среднее, дисперсия, ковариация и пр.), либо задача описать зависимости между различными показателями в генеральной совокупности (коэффициенты регрессии, корректность самой регрессионной модели в целом и пр.), либо определить какие-то другие параметры изучаемой генеральной совокупности. При этом истинные значения параметров генеральной совокупности останутся исследователю недоступными - так как ему недоступна вся генеральная совокупность. В своих выводах и рассуждениях он будет опираться на оценочные значения (или оценки / estimations) данных параметров - то есть на их предположительные значения.
Термины несмещенность, состоятельность и эффективность показывают, насколько полученные оценочные значения параметров соответствуют их истинным значениям.
Как правило, если оценочное значение отвечает всем трем свойствам - значит, это наилучшая возможная оценка. Эту оценку можно использовать в практических целях - при прогнозировании, при принятии решений об определенных воздействиях на объект анализа и пр. Отметим также, что под оценкой обычно понимают математическую формулу (или метод), с помощью которой предлагается определять предположительное значение того или иного параметра. Если формула (метод) отвечают трем указанным выше свойствам, значит, его можно применять на практике.
Несмещенность, состоятельность и эффективность
Несмещенность (unbiasedness) - это свойство, которое означает, что математическое ожидание оценочного значения какого-то параметра будет равно истинному значению этого параметра. Если простыми словами, то наиболее вероятное значение параметра, подсчитанное на основе предложенной формулы, будет равно его истинному значению. То есть ожидается, что предложенная формула максимально точно, насколько это возможно, угадывает истинное значение изучаемого параметра. Например, если мы возьмем несколько выборок из генеральной совокупности (или проведем несколько экспериментов), то мы будем всегда получать похожие результаты и эти результаты будут максимально близки к истине. Как видим, несмещенность не означает, что полученное нами значение правильное, но вероятнее всего, что оно близко к нему.
Состоятельность (consistency) - это свойство, которое означает, что по мере увеличения размера выборки оценочное значение будет все больше и больше приближаться к истинному. Как правило, состоятельность - это дополнительное требование, которое накладывается на несмещенную оценку. Иными словами, если несмещенность гарантирует, что при использовании заданного метода исследователь окажется около истины, то состоятельность гарантирует, что по мере увеличения выборки он будет находиться все ближе и ближе к правде. То есть описывает признак сходимости оценки к истинному значению.
Эффективность (efficiency) - это свойство, означающее, что данная формула оценки искомого параметра дает наименьшую погрешность из всех возможных. Иными словами, эффективность - ещё более сильное условие, оно позволяет выбрать наилучший подход к определению значения искомого параметра из нескольких подходов, каждый из которых отвечает требованиям несмещенности и состоятельности. На практике во многих случаях достаточно несмещенности и состоятельности.
В чем отличие несмещенности от состоятельности
Важно понимать, что несмещенность и состоятельность - это два отдельных свойства. Из несмещенности никогда не вытекает состоятельность, и наоборот. Возможны ситуации, когда оценки несмещена, но несостоятельна, и наоборот, когда оценка смещена, но состоятельна.
Классический пример ситуации, когда оценка состоятельна, но смещена - это оценка дисперсии нормального распределения:
σ2оценка=(1/n)*∑(X-Xср.)
В данной формуле σ2оценка - оценочное значение дисперсии, n - количество наблюдений, X - значение одного наблюдения в выборке, Xср. - среднее значение по выборке. Сделав ряд математических преобразований, можно показать, что оценка в этом случае будет равна следующему значению:
σ2оценка=((n-1)/n)*σ2
σ2 - это истинное (искомое) значение оцениваемого параметра в генеральной совокупности. Из формулы хорошо видно, что какое n не подставляй, оценка никогда не будет равна истинному значению. Иными словами, данная оценка смещена. При этом из этой формулы также хорошо видно, что оценка состоятельна, т.к. при n стремящемся к бесконечности дробь (n-1)/n будет стремиться к единице, а оценка дисперсии будет равна истинному значению. Так как в данном случае мы знаем, что состоятельная оценка сходится к истинному значению, то в данном конкретном случае на больших выборках можно пользоваться данной формулой в практических целях - результат не будет сильно искажен. Но в общем случае, когда величину смещения оценить нельзя, смещенными, но состоятельными оценками пользоваться не рекомендуется.
Правильная формула, которая дает несмещенную и состоятельную оценку дисперсии в нормальном распределении, выглядит следующим образом:
σ2оценка=(1/(n-1))*∑(X-Xср.)
Возможна также обратная ситуация, когда оценка дает несмещенное значение, но не отвечает условию состоятельности. В этом случае увеличение выборки никак не повлияет на точность оценки.
Почему одни страны, города или компании добиваются экономического успеха, а другие - вынуждены влачить жалкое существование? Почему экономический рост такой слабый, а неравенство доходов все выше? Как новые технологии могут изменить глобальный экономический ландшафт? Присоединяйтесь к нашей группе ВКонтакте, чтобы получать больше информации о долгосрочных трендах в экономике и бизнесе.
